viernes, 6 de diciembre de 2013

Expresion algebraica

Expresiones algebraicas  Son expresiones algebraicas las combinaciones de números y letras que representan números. Estas combinaciones se pueden hacer con las operaciones de suma, resta, producto, cociente y potencia de exponente natural. Se llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que no contienes denominadores algebraicos. Por ejemplo, son expresiones algebraicas 8x-78z , (3x-1)/(9x-2), 3 naranjas + 4 papas, 8x/3y. Son expresiones algebraicas, pero no enteras (3x-1)/(9x-2) y 8x/9y No son expresiones algebraicas log(2x+1) ni cos (9x-5). A continuación trataremos las expresiones algebraicas enteras.

 Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 3) está "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Los puedo simplificar entre sí 
Pero en este ejemplo, en el numerador, el polinomio (x - 3) 

está elevado a una potencia. (x - 3) está elevado a la potencia 2, o sea "al cuadrado" (x - 3)2. En un caso así puedo también simplificar, y lo hago tachando el 2 de la potencia, y tachando el otro (x - 3) que no está al cuadrado. Seguramente en este punto querrás saber por qué hago eso, para saber que hacer en casos similares y con otras potencias, pero primero terminemos el ejercicio y luego vendrá la justificación de lo que hicimos.


Al tachar el "2" del cuadrado y el (x - 3) de abajo, la fracción queda así:




Luego, no escribo lo que taché, y el resultado final es:



Ahora ¿por qué se tacha el 2? ¿por qué no se tacha el (x - 3) de arriba?. Bueno, pensemos que (x - 3)2 significa (x - 3) multiplicado dos veces por sí mismo (concepto de potencia). Es decir que:

(x - 3)2 = (x - 3).(x - 3)

Entonces lo voy a poner así en la fracción:



Ahora ya no se ve a (x - 3)2 como un cuadrado, sino como dos polinomios iguales multiplicándose. Como hicimos en los ejemplos anteriores, podemos "tachar" uno de los (x - 3) de arriba con uno de los de abajo. Así:



Así, si seguimos como en los anteriores ejemplos, ahora no escribimos lo que tachamos y llegamos al mismo resultado:



Cuando los polinomios ya factorizados quedan como potencias de un binomio (potencia 2 si usé el Caso Trinomio Cuadrado Perfecto, potencia 3 si usé el Caso Cuatrinomio Cubo Perfecto), tendré que recordar cómo simplificar entre sí en una división de potencias de la misma base (recordemos cómo era eso). Y si no, podemos "desarmar" la potencia como hice allí arriba, y así ya no verlo como potencia sino como multiplicación, y luego tachando "uno con uno".

Sumas:

Para sumar dos expresiones algebraicas, estas tienen que tener la misma parte literal. 
Por supuesto que no se pueden sumar 3 naranjas más 4 papas, porque daría 7 ¿ 7 qué ? 

Pero se puede hacer: 3 naranjas + 4 papas + 10 naranjas + 2 papas = 13 naranjas + 6 papas

Entonces se puede sumar: 3 xz + 4  + 10 xz + 2  = 13 xz + 6 . 

Para sumar dos expresiones algebraicas, tienen que tener la misma parte literal. 

Sumamos papas 
con papas y naranjas con naranjas. Se deja la parte literal igual,intacta, y se suman sus coeficientes. 

Cuidado entonces que NO es x + 2x
1 naranja + 1 naranja no es una naranja cuadrada sino que son 2 naranjas

términos semejantes:
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.
Por ejemplo:
6 a2bes término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)
1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)
0,3 a2no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.
Recordando cómo se suman los números enteros:
Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.
Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.
      Ej  :         – 3   +   – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)
                      12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)
        Ej  :   – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  -  7  =   5
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto
                    5   +   – 51   =   – 46    ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
                   – 14  +   34   =    20
Recordando cómo se resta:
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.
Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a)      Cambiar el signo de la resta en suma
b)      Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario
Ej:      – 3  –  10    =    – 3    +  – 10  =    – 13   ( signos iguales se suma y conserva el signo)
            19   – 16    =      19 +  – 16   =     19   –    16    =    3
Ejemplo 1:
xy3 – 3 x2+ 5 xy3 – 12 x2+ 6                 Hay dos tipos de factores literales: xy3 x2y
               Hay también una constante numérica: 6
Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de  xycon  5xy3  y –3 x2y con –12 x2y.
Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x3y = 1 xy3).
xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6  =        6 xy3  +  – 15 x2y + 6       
             1 + 5 = 6
               – 3 – 12 = – 15
Ejemplo 2:
3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 =  25ab + 1abc – 30
 Operaciones:
                3 + 8 +14 = 25 ab
                – 5 + 6     =  + 1 abc
                – 10 – 20 = – 30
monomios y polinomios. 
Se llama monomio a una expresión algebraica entera en la cual la variable, por ejemplo x, y o z, esta afectada solamente por operaciones de potencia de exponente natural y multiplicación por números reales. Por ejemplo, son monomios 4xz, 17 x² , -12 x³yz².

La suma algebraica, esto es, suma o resta de monomios, se llama polinomio.
 

B(x) = 5x³-8x²+14x-7 es una expresión algebraica con 4 términos. Más precisamente, es un polinomio de tercer grado. Está formado por 4 monomios o términos; 5x³ es un término de grado 3, -8x² es el término de segundo grado,14x es de primer grado y -7 es el término independiente, de grado cero. 

En el monomio 5x³ la parte literal es  y el coeficiente es 5 . 

En el monomio -8x² la parte literal es  y el coeficiente es -8

3x + 4 x² no se puede "sumar". Esta expresión ya está reducida a su mínima 

expresión. 

En cambio 2x + 4 x² + 6 - 9x +  se puede reducir y ordenar, quedando 5 - 7x + 6
 

Productos:

Recordemos ahora que para multiplicar potencias de la misma base, se deja esa base y se suman los exponentes. 

x² 20 x³ 

Hemos multiplicado 4 por 5 = 20 y hemos sumado exponentes 2 + 1 = 3 

Recordemos que en el término 5 x , el coeficiente es 5 y el exponente de es 

También debemos recordar la regla de los signos: 

Expresiones algebraicas[Parte 1]

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