jueves, 13 de febrero de 2014

traslacion de figuras

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector {\vec  {u}}, tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P', tal que:
{\begin{cases}T_{{\vec  {u}}}:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}&\overrightarrow {PP'}={\vec  {u}}\\P\mapsto P'=T(P)=P+{\vec  {u}}\end{cases}}

Definición de traslaciones[editar]

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:
d(P,Q)=d(T(P),T(Q))=d(P',Q')\;
Más aún se cumple que:
\overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {P'Q'}
Notas:
  1. La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
  2. La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

Representación matricial[editar]

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.
Así un vector tridimensional w = (wxwywz) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas comow = (wxwywz, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:
T_{{{\mathbf  {v}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}
Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:
T_{{{\mathbf  {v}}}}{\mathbf  {p}}={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\mathbf  {p}}+{\mathbf  {v}}.\!
La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento
T_{{{\mathbf  {v}}}}^{{-1}}=T_{{-{\mathbf  {v}}}}.\!
Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:
T_{{{\mathbf  {u}}}}T_{{{\mathbf  {v}}}}=T_{{{\mathbf  {u}}+{\mathbf  {v}}}}.\!
Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente traslación.

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